Az idei közgazdasági Nobel-díjat megosztva Alvin Roth és Lloyd Shapley kapta a stabil allokációk elmélete és a piactervezés gyakorlatának kidolgozásáért. Ebben a rövid feljegyzésben az idén 89 éves Shapley további fontos eredményeit kívánom vázolni. Kizárólag kooperatív játékelméleti eredményei közül válogatok, azaz olyan helyzetekre szorítkozom, ahol a torta mérete adott, csak a részvevők közti elosztását kell meghatározni.
1953-ban jelent meg az a cikke, amelyben kidolgozta a kooperatív játékok egyik alapvető elosztási fogalmát, a róla elnevezett Shapley-értéket. Ahelyett, hogy a fogalom részletes definícióját megadnám, egy egyszerű példán érzékeltetem a fogalmat. Tegyük föl, hogy két utas megy taxival a reptérre: Albert és Béla. Béla lakhelye pontosan félúton fekszik az Alberttől a reptérre vezető legrövidebb úton. Tegyük föl, hogy a taxiban km-arányos mérőóra van. Kérdés: hogyan ossza meg a költséget a két utas egymás között? Első gondolatunk az lehetne, hogy távolságarányosan, azaz Albert fizeti a költség 2/3-át, míg Béla az 1/3-át. Shapley azonban egy logikusabb szabályt javasolt. Albert fizesse ki a Béla lakásáig vezető utat egészben és a maradék utat félig, azaz 1/2 + 1/4 = 3/4 és 1/4 legyen a költségmegosztás. Kidolgozása óta a Shapley-érték és módosításai a kooperatív játékelmélet egyik legfontosabb eszközeivé váltak.
A másik fogalom némileg bonyolultabb: a mag. Egyelőre ismét két személy taxizására szorítkozunk. Már tudjuk, hogyha külön utaznak, akkor Albert költsége 1, Béláé 1/2; ha együtt utaznak, akkor az együttes költség 1. A mag elemei olyan költségmegosztások, amelyben mindkét játékosnak megéri részt venni. Ha a és b jelöl egy megosztást, akkor a + b = 1 és a 1 és b 1/2. Itt a megoldás nem egyértelmű, például az előbb említett mindkét megosztás is eleme a magnak, sőt 1/2 < a 1 és b=1 – a megoldás. Már a 19. század végén Edgeworth is sejtette, 1963-ban pedig Debreu (szintén Nobel-díjas) és Scarf bizonyította, hogy ha a részvevők száma nagy, és súlyuk kicsi, akkor a piaci játék magva egyre inkább leszűkül a piaci egyensúlyra.
De van olyan eset, amikor a mag üres. Például három parlamenti párt létezik, és mindhárom a parlamenti helyek 1/3-ával rendelkezik. Egy koalíció győztes és részesedése 1, ha a helyek több mint 50 százalékával rendelkezik. Nem lehet az értéket a három párt között megosztani, hogy ne érje meg legalább az egyiknek kilépnie a győztes koalícióból. (Indirekt: legyen a, b és c az egyes pártok részesedése a magban, a + b + c = 1. A 3 db kétszemélyes koalícióra teljesülnie kell a + b ≥ 1/2, b + c ≥ 1/2 és c + a ≥ 1/2 egyenlőtlenségnek. Összeadva a három egyenlőtlenséget, 1 = a + b + c ≥ 3/2, ellentmondás.) Shapley 1967-es nevezetes tétele éppen arra ad feltételt, hogy a játék magva ne legyen üres.
A korabeli közgazdaság-tudomány nyelvi megosztottságára jellemző, hogy Shapley eredményét Olga Bondareva szovjet tudós már 1963-ban közölte oroszul, de azt senki sem várta el Shapleytől, hogy ismerje egy orosz tudós eredményét. (Persze, ha fordítva történt volna, akkor most nem Bondareva–Shapley, hanem csak Shapley-tételről beszélnénk!)
Harmadik jelentős eredménye, amely a Shapley-értéket a véges számú lehetőségről (például együtt vagy külön utazunk) a matematikailag bonyolultabb végtelen számú lehetőségre (például hány km-t utazunk) általánosítja. Ezt az elméletet 1973-ban Robert Aumann-nal (korábbi Nobel-díjassal) együtt dolgozta ki Shapley, és azóta már számos gyakorlati problémára alkalmazták.
Végül egy szubjektív gondolatot fogalmazok meg a megosztott Nobel-díj megítéléséről. Már 1960-ban David Gale-lel közös cikkben publikálta Shapley azt az eredményt, amelyért a megosztott Nobel-díjat kapta. Emellett más, nem díjazott fontos eredményei között is vannak társak: Bondareva mint előd, Aumann mint társszerző. Nem egyszerű a díjak megosztása.
